Hệ phương trình đại số tuyến tính là một trong những kiến thức quan trọng trong môn toán cao cấp, đặc biệt trong đại số và hình học giải tích. Cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss là một trong những phương pháp phổ biến và hữu ích. Bài viết này sẽ tổng hợp kiến thức cơ bản về định nghĩa, các phương pháp giải và một số dạng bài tập giúp bạn ôn tập một cách dễ dàng.
Contents
I. Hệ phương trình tuyến tính là gì?
Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính có cùng các biến số. Có thể có một hoặc nhiều biến số trong mỗi phương trình. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính với m phương trình và n biến số là:
Bạn đang xem: Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
Trong đó:
- xi: là các biến số của hệ
- aij: là các hệ số của biến số
- bi: là các hệ số tự do
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là hệ tuyến tính thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do đều bằng 0.
Cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Có 2 trường hợp khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
- Hệ có nghiệm duy nhất (nghiệm tầm thường): hạng của ma trận bằng số biến số của hệ phương trình.
- Hệ vô số nghiệm (nghiệm không tầm thường): hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số biến số của phương trình.
Ký hiệu phương trình tuyến tính dạng ma trận
Hệ phương trình tuyến tính có thể được viết dưới dạng ma trận. Ví dụ, hệ phương trình tuyến tính n biến có thể được viết là:
READ MORE:
II. Định lý Kronecker – Capeli
Hệ phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm khi và chỉ khi:
Xem thêm : Hình nền Powerpoint dễ thương
r(A) = r(Ā)
III. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
Có 4 phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính AX = B với điều kiện định thức ma trận A khác 0:
- Phương pháp Cramers
- Phương pháp nghịch đảo
- Phương pháp Gauss-Jordan
- Phương pháp loại bỏ Gauss
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B
Bước 1: Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng phương pháp bổ sung của phương pháp Gauss. Điều này sẽ cho chúng ta một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
Bước 2: Giải hệ phương trình mới với quy tắc sau:
- Các biến mà hệ số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng của ma trận bậc thang được gọi là biến ràng buộc.
- Các biến khác là các biến tự do.
IV. Bài tập hệ phương trình tuyến tính có lời giải
Bài tập giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Bài 1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Giải
Ma trận bổ sung của hệ là:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là z = x = 14; y = -11.
Bài 2: Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Bài 3: Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
Bài 4: Cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Bài 5: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
Xem thêm : Dạng 5. Tìm x Chủ đề 6 Ôn hè Toán 6
Bài 6: Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss
Bài 7: Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn bằng phương pháp Gauss
Bài 8: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
Bài 9: Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Bài 10: Giải phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Bài 11: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình
READ MORE:
Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và có nhiều ứng dụng quan trọng. Dưới đây là một số ví dụ về các ứng dụng phổ biến của hệ phương trình tuyến tính:
- Kinh tế: Trong kinh tế, hệ phương trình tuyến tính được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết các vấn đề liên quan đến tài chính, sản xuất, tiêu thụ và phân bổ tài nguyên. Ví dụ, hệ phương trình tuyến tính có thể được sử dụng để tối ưu hóa lợi nhuận trong các mô hình kinh doanh hoặc để phân tích tương quan giữa các yếu tố kinh tế.
- Kỹ thuật: Trong lĩnh vực kỹ thuật, hệ phương trình tuyến tính thường được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết các vấn đề liên quan đến điện, cơ học, điều khiển và xử lý tín hiệu. Ví dụ, trong mạch điện, hệ phương trình tuyến tính có thể được sử dụng để tính toán dòng điện và điện áp tại các nút mạch khác nhau.
- Khoa học và kỹ thuật hóa học: Trong lĩnh vực hóa học, hệ phương trình tuyến tính thường được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết các phản ứng hóa học và cân bằng chất lượng. Nó cũng có thể được sử dụng để tối ưu hoá quy trình sản xuất và thiết kế các hệ thống phản ứng.
Tài liệu bài tập cùng lý thuyết hệ phương trình tuyến tính môn đại số tuyến tính PDF có thể tải tại đây.
Ok xong trên đây là các phương pháp giải và bài tập hệ phương trình tuyến tính. Nếu có bất kỳ thắc mắc hoặc sai sót nào, vui lòng liên hệ với chúng tôi. Cảm ơn các bạn đã tham khảo!
Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập
