Lí thuyết nguyên hàm

Tổng quan

Trong toán học, nguyên hàm là khái niệm quan trọng và thú vị. Chúng ta sẽ khám phá về nguyên hàm và các tính chất của nó.

Định nghĩa

Nguyên hàm là một khái niệm trong giải tích. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K, hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Bạn đang xem: Lí thuyết nguyên hàm

Định lý

1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K, thì mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2. Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K, thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.

Tính chất của nguyên hàm

Xem thêm : Câu hỏi tu từ là gì? Đặc điểm, ví dụ và tác dụng của câu hỏi tu từ

Sau đây là một số tính chất của nguyên hàm:

• ∫f(x)dx = F(x) + C, với C là hằng số.
• ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số khác không).
• ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx.

Sự tồn tại nguyên hàm

Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Xem thêm : Hơn 100 tấn cá chết ở hồ câu do ngạt khí

Dưới đây là bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

• ∫dx = x + C
• ∫x^(alpha)dx = (x^(alpha + 1))/(alpha + 1) + C (alpha ≠ -1)
• ∫(1/x)dx = ln|x| + C
• ∫e^xdx = e^x + C
• ∫a^xdx = (a^x)/(lna) + C (a > 0, a ≠ 1)
• ∫cosxdx = sinx + C
• ∫sinxdx = -cosx + C
• ∫(1/(cos^2x))dx = tanx + C
• ∫(1/(sin^2x))dx = -cotx + C

Phương pháp tìm nguyên hàm

Có hai phương pháp chính để tìm nguyên hàm:

a) Phương pháp đổi biến số

• Định lý 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục, thì ∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C.
• Hệ quả: Nếu ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C (a ≠ 0).

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

• Định lý 2: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K, thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx.
• Chú ý: Ta cũng có thể viết gọn thành ∫udv = uv – ∫vdu.

Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu thêm về lí thuyết nguyên hàm và cách tìm nguyên hàm của các hàm số.

Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập