Contents
Giới thiệu
Nếu bạn đang học về đại số tuyến tính hoặc vật lý, chắc hẳn bạn đã nghe qua khái niệm “ma trận nghịch đảo”. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khái niệm này cũng như các tính chất quan trọng liên quan.
READ MORE:
Khái niệm ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Ma trận nghịch đảo là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Giả sử ta có một ma trận vuông A cấp n trên trường K. Nếu tồn tại một ma trận B cấp n trên trường K sao cho A.B = B.A = I (ma trận đơn vị), thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được ký hiệu là A^(-1).
Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo (khả nghịch) | Maths 4 Physics & more…
Nhận xét
- Ma trận nghịch đảo là duy nhất.
- Ma trận đơn vị là khả nghịch, trong khi ma trận không là không khả nghịch.
- Tập hợp các ma trận vuông cấp n khả nghịch được ký hiệu là GLn(K).
Ví dụ
Xét các ma trận vuông cấp 2 sau đây:
A = [1, 2; 3, 4]
B = [0.6, -0.4; -0.3, 0.2]Ta thấy rằng A.B = B.A = I2 (ma trận đơn vị cấp 2). Do đó, A và B là khả nghịch và là nghịch đảo của nhau.
Tính chất của ma trận nghịch đảo
- Nếu A và B là khả nghịch, thì tích AB cũng khả nghịch và (AB)^(-1) = B^(-1).A^(-1).
- Nếu A khả nghịch, thì ma trận chuyển vị AT cũng khả nghịch và (AT)^(-1) = (A^(-1))^T.
Xem thêm : Tên tiếng anh của bạn là gì? 1000+ tên tiếng anh hay cho nam và nữ
(Bạn có thể tự chứng minh tính chất này)
Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp
Ma trận sơ cấp là một khái niệm quan trọng khác trong đại số tuyến tính. Mọi ma trận sơ cấp đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp.
Định lý về ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp
Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường K. Ta có các khẳng định sau đây là tương đương:
- A khả nghịch.
- Ma trận đơn vị In nhận được từ A bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột).
- A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp.
READ MORE:
Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo
Thuật toán Gausβ – Jordan là một phương pháp để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông. Ta thực hiện các bước sau:
Xem thêm : Vở bài tập toán lớp 5 tập 1
Bước 1: Lập ma trận (n hàng, 2n cột) bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n vào bên phải ma trận A.
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận [ A | I ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.
- Nếu A’ = In, thì A khả nghịch và A^(-1) = B.
- Nếu A’ khác In, thì A không khả nghịch.
Ví dụ minh họa:
Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A sau:
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]Từ đó, suy ra:
B = [-1, 2, -1; 0, -1, 2; 1, -2, 1]Vậy, ta có: A khả nghịch và A^(-1) = B.
Trên đây là một số kiến thức cơ bản về ma trận nghịch đảo. Hi vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm này và các tính chất liên quan. Chúc bạn học tốt!
Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập
