Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Như bạn đã biết, nguyên hàm là một trong những chủ đề quan trọng trong Giải tích Toán 12 và thường xuất hiện nhiều trong các kỳ thi đại học. Vậy có những công thức nguyên hàm quan trọng mà chúng ta cần nhớ? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về bảng công thức nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao và các phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến.

Nguyên hàm là gì?

Trước khi đi sâu vào tìm hiểu công thức về nguyên hàm, chúng ta cần nắm vững khái niệm nguyên hàm cũng như các tính chất và định lý liên quan.

Bạn đang xem: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∈ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Định lý nguyên hàm

Có ba định lý cơ bản về nguyên hàm:

• Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
• Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.
• Định lý 3: Trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

Tính chất nguyên hàm

Có ba tính chất cơ bản của nguyên hàm được thể hiện như sau:

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều có những công thức riêng. Những công thức này đã được tổng hợp thành các bảng dưới đây để chúng ta dễ dàng phân loại, ghi nhớ và áp dụng chính xác.

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

Bảng nguyên hàm hàm số lượng giác

2 phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi biến số

Đây là phương pháp được sử dụng rất nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, chúng ta cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.

Phương pháp đổi biến loại 1:
Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải:
Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.
Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2:
Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này:

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:
Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

Cách giải:
Trước hết, chúng ta cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:
Tiếp theo, đặt:
Lúc này chúng ta sẽ có:
Tùy thuộc vào từng dạng toán cụ thể mà chúng ta áp dụng phương pháp sao cho phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

Bài tập về công thức nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Xem thêm : Chi tiết xu hướng

Đề bài:

a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) trên một khoảng.
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập xác định D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D khi Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

b.
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được định nghĩa như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên D, khi đó ta có công thức:
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hay ∫udv = uv – ∫vdv

Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm số A = ∫xexdx

Lời giải:

Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12

Xem thêm : Chi tiết xu hướng

Đề bài:

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]
b. Tính chất của tích phân là gì? Nêu ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]
Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

b. Tính chất của tích phân:

Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12

Xem thêm : Chi tiết xu hướng

Đề bài:

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Ta có:

Suy ra

b. Ta có:

Suy ra:

c. Ta có:

Suy ra:

d. Với bài tập này, chúng ta có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc chúng ta cũng có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau:

Ta có:

Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12

Xem thêm : Chi tiết xu hướng

Đề bài:

Tính một số nguyên hàm sau:

Hướng dẫn giải bài tập:

Đề THPT Chuyên KHTN Lần 4

Xem thêm : Chi tiết xu hướng

Đề bài:

Cho các số nguyên a và b thỏa mãn

Hãy tính tổng P = a + b

Hướng dẫn giải bài tập:

Đề thi thử Sở Giáo Dục Bình Thuận

Xem thêm : Chi tiết xu hướng

Đề bài:

Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:

Hướng dẫn giải bài tập:

Đối với dạng bài nâng cao này, chúng ta sẽ kết hợp 2 phương pháp là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.

Chúng ta đã tìm hiểu về bảng công thức nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao, cũng như các phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến. Hy vọng bài viết sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về nguyên hàm và áp dụng chúng một cách hiệu quả trong giải quyết các bài tập.

Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập