Tổng hợp công thức đạo hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

Giới thiệu

Chào mừng bạn đến với bài viết tổng hợp công thức đạo hàm (2024) đầy đủ và chi tiết nhất. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm và công thức quan trọng liên quan đến đạo hàm, một chủ đề quan trọng trong toán học và các lĩnh vực liên quan.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm được xác định bởi giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm đó, khi số gia của đối số tiến dần tới 0.

Bạn đang xem: Tổng hợp công thức đạo hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa gồm ba bước:

• Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại điểm x0; tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).
• Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.
• Bước 3: Tính giới hạn của tỉ số ∆y/∆x khi ∆x tiến dần tới 0.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại một điểm x0, thì nó liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên, một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên, đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x = x0 là giới hạn của hàm số khi x tiến dần tới x0 từ phía bên phải. Tương tự, đạo hàm bên trái là giới hạn từ phía bên trái. Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi tồn tại đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái và hai giá trị này bằng nhau.

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Nếu hàm số có đạo hàm tại các điểm thuộc đoạn [a, b], đồng thời có đạo hàm trái tại x = b và đạo hàm phải tại x = a, thì nó có đạo hàm trên đoạn [a, b].

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y – y0 = f’(x0)(x – x0), trong đó y0 = f(x0).

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Xem thêm : Tên Sarah có ý nghĩa gì? Nguồn gốc tên gọi này xuất hiện từ đâu?

a. Vận tốc tức thời.

Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của một chuyển động được xác định bởi hàm số s = s(t) là đạo hàm của hàm số s = s(t) tại thời điểm t0: v(t0) = s’(t0).

b. Cường độ tức thời.

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q = Q(t) (với Q(t) là một hàm số có đạo hàm), thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q = Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0).

Công thức đạo hàm

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các công thức đạo hàm cho các hàm số sơ cấp và cấp cao.

Đạo hàm các hàm số sơ cấp

• Đạo hàm của một hằng số bằng 0.
• Đạo hàm của một tổng bằng tổng của các đạo hàm.
• Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp.

Công thức đạo hàm cơ bản

Công thức đạo hàm cơ bản là một tập hợp các công thức sử dụng để tính đạo hàm của các hàm số thường gặp như hàm mũ, hàm lượng giác, hàm logarit, v.v.

Bảng đạo hàm

Bảng đạo hàm là một tập hợp các công thức đạo hàm cho các hàm số phổ biến, giúp người học dễ dàng tính toán đạo hàm của các hàm số cơ bản.

Bài tập vận dụng

Trong phần này, chúng ta sẽ thực hành tính đạo hàm bằng định nghĩa và bằng phép toán cho các hàm số cụ thể.

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Xem thêm : Cơ sở lý luận văn học

Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa gồm ba bước:

• Bước 1: Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0. Tính Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).
• Bước 2: Tính giới hạn của tỉ số Δy/Δx khi Δx tiến dần tới 0.
• Bước 3: Kết luận.

Ví dụ: Dùng phương pháp này để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^2 – 3x.

Giải:

• Giả sử Δx là số gia của đối số tại x.
  Khi đó:
  Δy = f(Δx + x) – f(x) = (Δx + x)^2 – 3(Δx + x) – (x^2 – 3x) = (Δx)^2 + 2xΔx = Δx(Δx + 2x)
• Tính:
  lim Δx→0 (Δy/Δx) = lim Δx→0 Δx(Δx + 2x) / Δx = lim Δx→0 (Δx + 2x) = 2x

Vậy, f'(x) = 2x.

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán

Ví dụ:
y = 2x + 1 – 3x
⇒ y’ = (2x + 1) – (3x – 1) = 5(1 – 3x)^2

Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp

Ví dụ:
y = (x^2 + x)^4
⇒ y’ = 4(x^2 + x)^3.(x^2 + x) = 4(2x + 1)(x^2 + x)^3

Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao

Để tính đạo hàm cấp n của một hàm số, ta có các công thức quy nạp như sau:

• Đạo hàm cấp 2: y” = (y’)’ = (f'(x))’
• Đạo hàm cấp 3: y”’ = (y”)’ = ((f'(x))’)’
• …
• Đạo hàm cấp n: y^(n) = ((y^(n-1))’

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 1/x.

Giải:
Ta có:
f'(x) = -1/x^2
f”(x) = (f'(x))’ = (1/x^2)’ = 2/x^3
f”'(x) = (f”(x))’ = (2/x^3)’ = -6/x^4
…
f^(n)(x) = (-1)^n * n! / x^(n+1)

Vậy: (1/x)^(n) = (-1)^n * n! / x^(n+1)

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các công thức đạo hàm (2024) và cách tính toán đạo hàm cho các hàm số khác nhau. Hãy tập thực hành và áp dụng những kiến thức này vào những bài toán thực tế để nâng cao kỹ năng của mình trong lĩnh vực toán học này.

Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập