Bài viết này sẽ hướng dẫn một số cách giải phương trình bậc 3 tổng quát bằng ngôn ngữ tiếng Việt. Các phương pháp bao gồm phân tích nhân tử, phương pháp Cardano và phương pháp lượng giác hoá – hàm hyperbolic. Tùy vào từng phương trình bậc 3 (phương trình bậc ba), chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp giải phù hợp để thu được lời giải ngắn gọn và dễ hiểu.
1. Phương pháp phân tích nhân tử
Nếu phương trình bậc 3 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ có nghiệm $x = r$, thì ta có nhân tử $(x – r)$ và phương trình có thể phân tích thành:
Bạn đang xem: Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
$ax^3 + bx^2 + cx + d = (x – r)[ax^2 + (b + ar)x + (c + br + ar^2)]$
Từ đó, ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là:
$x = frac{-b – ra pm sqrt{b^2 – 4ac – 2abr – 3a^2r^2}}{2a}$
READ MORE:
2. Phương pháp Cardano
Phương pháp này áp dụng cho phương trình bậc ba $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ $(1)$. Đặt $x = y – frac{a}{3}$, phương trình $(1)$ có thể biến đổi thành dạng chính tắc: $y^3 + py + q = 0$ $(2)$, trong đó $p = b – frac{a^2}{3}$ và $q = c + frac{2a^3 – 9ab}{27}$.
Sau đó, ta chọn $u$ và $v$ sao cho $3uv + p = 0$, từ đó ta có hệ phương trình:
$begin{cases} u^3 + v^3 = -q u^3v^3 = -frac{p^3}{27} end{cases}$
Xem thêm : [Tự học SQL] Bài tập thực hành sql server nâng cao – Phần 1(full hướng dẫn)
Theo định lí Vi-ét, $u^3$ và $v^3$ là hai nghiệm của phương trình $X^2 + qX – frac{p^3}{27} = 0$ $(5)$.
Từ đó, ta có các công thức tính nghiệm của phương trình ban đầu.
READ MORE:
3. Phương pháp lượng giác hoá
Phương pháp này tìm cách biểu diễn một phương trình bậc ba có 3 nghiệm thực dưới dạng căn thức, sử dụng hai hàm số $cos$ và $arccos$.
Ví dụ 1: Giải phương trình $x^3 + x^2 + x = -frac{1}{3}$.
Phương trình này không có nghiệm hữu tỉ nên không thể áp dụng phân tích nhân tử. Ta có thể thử quy đồng phương trình bằng cách nhân đôi cả hai vế của phương trình và đặt $3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$. Sau đó, ta nhận thấy đại lượng $3x^2 + 3x + 1$ tương tự với hằng đẳng thức $(x + 1)^3$. Vì vậy, phương trình có thể được viết lại thành $(x + 1)^3 = -2x^3$. Từ đó, ta có nghiệm duy nhất là $x = frac{-1}{1 + sqrt[3]{2}}$.
Ví dụ 2: Giải phương trình $x^3 – 3x^2 + 4x + 11 = 0$.
Đặt $x = y + 1$, ta có phương trình $y^3 + 1y + 13 = 0$. Tính $Delta = 13^2 + frac{4}{27} cdot 1^3 = frac{4567}{27} ge 0$. Áp dụng công thức Cardano, ta có các nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 3: Giải phương trình $x^3 + 3x^2 + 2x – 1 = 0$.
Xem thêm : Cách xây dựng kịch bản phỏng vấn ứng viên để “săn” đúng nhân tài
Đặt $x = y – 1$, ta có phương trình $y^3 – y – 1 = 0$. Với $|y| < frac{2}{sqrt{3}}$, tồn tại $0 le alpha le pi$ sao cho $frac{sqrt{3}}{2}y = cos(alpha)$. Từ đó, ta có nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 4: Giải phương trình $x^3 – x^2 – 2x + 1 = 0$.
Đặt $y = x – frac{1}{3}$, ta có phương trình $y^3 – frac{7}{3}y + frac{7}{27} = 0$. Với $|y| < frac{2sqrt{7}}{3}$, tồn tại $0 le alpha le pi$ sao cho $cos(alpha) = frac{3y}{2sqrt{7}}$. Từ đó, ta có nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 5: Giải phương trình $x^3 + 6x + 4 = 0$.
Ta sử dụng phép đặt $x = k(t – frac{1}{t})$ để đưa về phương trình trùng phương. Chọn $k = sqrt{2}$, ta có nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 6: Giải phương trình $4x^3 – 3x = m$ với $|m| > 1$.
Ta thấy rằng khi $|x| le 1$, thì $|VT| le 1 < |m|$ (sai), vì vậy $|x| ge 1$. Ta có thể đặt $x = frac{1}{2}(t + frac{1}{t})$, ta có nghiệm của phương trình ban đầu.
Như vậy, chúng ta đã tìm hiểu và áp dụng một số phương pháp giải phương trình bậc 3 tổng quát. Hi vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải và áp dụng các phương pháp này vào việc giải quyết các bài toán.
Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập
