Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

Contents

1 Khái niệm nguyên hàm ln(x)
2 Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)
3 Cách tính nguyên hàm ln(x)

Khái niệm nguyên hàm ln(x)

Nguyên hàm của hàm số $f(x)$ được tính như sau: đặt $u=lnx$ và $dv=dx$. Ta có $du=frac{1}{x}dx$ và $v=x$. Khi đó, ta có công thức tính nguyên hàm của ln(x) là $int lnxdx=xlnx-int dx=xlnx-x+C$.

Có thể bạn quan tâm

Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)

Dưới đây là bảng công thức nguyên hàm của ln(x) và một số nguyên hàm cơ bản thường gặp:

Bạn đang xem: Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

Bảng nguyên hàm Inx và một số nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Tính $int_{1}^{2}ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Tính $S=a+b+c$.

Giải: Đặt $u=ln(x+1)$ và $dv=dx$. Ta có $du=frac{1}{x+1}dx$ và $v=x+1$. Khi đó:

$int{1}^{2}ln(x+1)dx=(x+1)ln(x+1)Big|{1}^{2}-int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$

Như vậy, $a=3$, $b=-2$, $c=-1$ và $S=a+b+c=0$.

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $B=x^2Inxdx$.

Giải: Chúng ta đặt $u=lnx$ và $dv=x^2dx$. Khi đó, $du=frac{1}{x}dx$ và $v=frac{x^3}{3}$. Suy ra:

$int x^2lnxdx=frac{x^3}{3}lnx-int frac{x^3}{3}frac{dx}{3}=frac{x^3}{3}lnx-frac{x^3}{9}+C$

Nắm trọn kiến thức về nguyên hàm và các kiến thức Toán thi THPT Quốc Gia khác với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!

Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $J=int frac{(lnx+1)lnx}{(lnx+1+x)}dx$.

Giải: Chúng ta đặt $t=frac{lnx+1}{x}$ và $dt=frac{lnx}{x^2}dx$. Khi đó:

$J=int frac{lnx+1}{x(frac{lnx+1}{x}+1)}frac{lnx}{x^2}dx$

Đặt $t=frac{lnx+1}{x} Rightarrow dt=frac{lnx}{x^2}dx$. Ta có:

$J=int frac{tdt}{(t+1)^3}=int [frac{1}{(t+1)^3}-frac{1}{(t+1)^2}]dt$

$=-frac{1}{2(t+1)^2}+frac{1}{t+1}+C$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của:

a) $int x.2^xdx$

b) $int (x^2-1)e^xdx$

Giải:

a) Đặt $u=x$ và $dv=2^xdx Rightarrow du=dx$ và $v=frac{2^x}{ln2}$. Ta có:

$int x2^xdx=frac{x.2^x}{ln2}-int frac{2^x}{ln2}dx=frac{x.2^x}{ln2}-frac{2^x}{ln^2 2}+C$

b) Đặt $u=x^2-1$ và $dv=e^xdx Rightarrow du=2xdx$ và $v=e^x$. Suy ra:

Xem thêm : Hình ảnh may mắn và thành công đẹp và ý nghĩa nhất

$int f(x)dx=(x^2-1)e^x-int 2x.e^xdx$

Đặt $u=2x$ và $dv=e^xdx Rightarrow du=2dx$ và $v=e^x$. Ta có:

Xem thêm : Hình ảnh may mắn và thành công đẹp và ý nghĩa nhất

$int f(x)dx=(x^2-1)e^x-int 2x.e^xdx$

Ví dụ 3: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=(3x^2+1).lnx$

A. $int f(x)dx=x(x^2+1)lnx-frac{x^3}{3}+C$

B. $int f(x)dx=x^3lnx-frac{x^3}{3}+C$

C. $int f(x)dx=x(x^2+1)lnx-frac{x^3}{3}-x+C$

D. $int f(x)dx=x^3lnx-frac{x^3}{3}-x+C$

Giải: Đặt $u=lnx$ và $dv=(3x^2+1)dx$. Khi đó, $du=frac{1}{x}dx$ và $v=int (3x^2+1)dx=frac{x^3}{3}+x$.

Ta có $I=(x^3+x)lnx-int (x^3+x)frac{1}{x}dx=x(x^2+1)lnx-frac{x^3}{3}-x+C$.

Vậy đáp án là C.

Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1: Giải bất phương trình $ln(2x^2+3)>ln(x^2+ax+1)$ để tìm nghiệm đúng với mọi số thực khi nào?

Giải: Xét hàm số $f(x)=ln(2x^2+3)-ln(x^2+ax+1)$. Để hàm số này luôn lớn hơn 0, ta cần điều kiện:

Giải bài toán nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm:

a) $int 2xln(x-1)dx$

b) $int frac{ln(x+1)}{x^{2}}dx$

Giải:

a) Đặt $u=ln(x-1)$ và $dv=2xdx$. Khi đó:

$int 2xln(x-1)dx=(x^2-1)ln(x-1)-int (x+1)dx=(x^2-1)ln(x-1)-frac{x^2}{2}-x+C$

b) Đặt $u=ln(1+x)$ và $dv=frac{1}{x^{2}}dt$. Khi đó:

$int frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=frac{t}{(t+1)^{3}}dt$

$=-frac{1}{2(t+1)^{2}}+frac{1}{t+1}+C$

$=-frac{x^{2}}{2(lnx+1+x^{2})}+frac{x}{lnx+x+1}+C$

Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm $I=xIn(x^2+1)-x2+1dx$

Giải:

Ví dụ 2: Cho $int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với $a$ và $b$ là các số hữu tỉ. Tính $P=ab$.

A. $P=frac{3}{2}$

B. $P=0$

C. $P=frac{-9}{2}$

D. $P=-3$

Giải:

Ta có $I=int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$

Đặt $u=ln(1+x)$ và $dv=frac{1}{x^{2}}dx$. Khi đó, $du=frac{1}{1+x}dx$ và $v=-frac{1}{x}$. Ta có:

$I=-frac{1}{x}ln(1+x)Big|{1}^{2}+int{1}^{2}frac{dx}{x(1+x)}=-frac{1}{2}ln3+ln2+int_{1}^{2}(frac{1}{x}-frac{1}{1+x})dx$

$=-frac{1}{2}ln3+ln2+(lnx-ln|1+x|)Big|_{1}^{2}=-frac{1}{2}ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-frac{3}{2}ln3$

Suy ra $a=3$, $b=-frac{3}{2}$. Vậy $P=ab=frac{-9}{2}$.

Chọn đáp án C.

Tính nguyên hàm của ln(lnx)/x

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $I=int frac{ln(lnx)}{x}dx$.

Giải:

Đặt $lnx=t Rightarrow dt=frac{dx}{x}$. Suy ra $I=int lntdt$

Đặt $u=lnt$ và $dv=dt Rightarrow du=frac{dt}{t}$ và $v=t$. Ta có:

$I=tlnt-int frac{dt}{t}=tlnt-t+C=lnx.ln(lnx)-lnx+C$

Ví dụ 2:

Cho $I=int_{1}^{e}frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx=aln3+bln2+frac{c}{3}$ với $a$, $b$, $c in mathbb{Z}$. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

B. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$

C. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$

D. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Giải:

Ta có $I=int_{1}^{e}frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx$. Đặt $lnx+2=t Rightarrow frac{dx}{x}=dt$.

Ta có $I=int{2}^{3}frac{t-2}{t^{2}}dt=int{2}^{3}frac{1}{t}dt-2int_{2}^{3}frac{1}{t^{2}}dt$

=$lntBig|{2}^{3}+frac{2}{t}Big|{2}^{3}$

=$ln3-ln2+frac{2}{3}-frac{2}{2}=ln3-ln2-frac{1}{3}$

Suy ra $a=1$, $b=-1$, $c=-1$. Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

Bên cạnh đó, thầy Trường Giang đã có bài giảng cực hay về nguyên hàm tích phân cùng những tip giải bài tập rất hữu ích để giải đề thi THPT Quốc gia. Các bạn có thể xem trong video dưới đây nhé!

Sau bài viết này, hy vọng các bạn đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết và công thức về nguyên hàm ln(x), từ đó áp dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức hay, các bạn có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để nhận được kiến thức tốt nhất trong chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới!