Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực Của Đoạn Thẳng

1. Mặt phẳng trung trực là gì?

1.1. Định nghĩa

Trong không gian, khi cho điểm I và đoạn thẳng AB sao cho I là trung điểm của AB, thì mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

1.2. Tính chất

Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực luôn cách đều hai đầu đoạn thẳng.

Bạn đang xem: Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực Của Đoạn Thẳng

Ta có thể thấy rằng khái niệm mặt phẳng trung trực tương tự như khái niệm về đường trung trực của đoạn thẳng trong mặt phẳng.

2. Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Đã hiểu về mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng, để viết phương trình mặt phẳng trung trực trong không gian, ta dựa vào khái niệm này.

Từ định nghĩa ở trên, nếu (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, thì vectơ AB là vectơ pháp tuyến của (P), còn trung điểm I của AB là điểm thuộc (P).

Khi đó, phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB được viết theo 3 bước sau:

• Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB (cách tìm tọa độ trung điểm là lấy trung bình cộng tọa độ điểm A và điểm B tương ứng).

• Xem thêm : Bài tập HTML nâng cao

  Bước 2: Tìm vectơ AB (cách tính vectơ AB là lấy tọa độ điểm cuối B trừ đi tọa độ điểm đầu A tương ứng). Ta sẽ có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

• Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I nhận vectơ AB là vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 1: Cho điểm A (2;1;1) và B (2;-1;-1) trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB.

Giải

Gọi I (x,y,z) là trung điểm của AB, khi đó:

• x = (x_A + x_B)/2 => x = 2
• y = (y_A + y_B)/2 => y = 0
• z = (z_A + z_B)/2 => z = 0

Ta có:
Vectơ AB = (0;-2;-2)
Mặt phẳng này trung trực (P) đi qua điểm I (2;0;0) có vectơ pháp tuyến n = AB = (0;-2;-2)

Nên (P) có phương trình là:
0(x-2) – 2(y-0)-2(z-0) = 0
=> y+z = 0

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (0;2;-5) và B (2;-4;7). Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình:
A. 2x – 6y + 12z – 10 = 0
B. -2x + 6y -12z +10 = 0
C. x – 3y +6z -10 = 0
D. -x + 3y – 6z +10 = 0

Giải
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là (1;-1;1)
Vectơ AB có tọa độ là (2;-6;12) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Mặt phẳng có phương trình dưới đây:
2(x-1) – 6(y+1) +12(z-1) = 0
=> 2x – 6y + 12z -20 = 0
=> x – 3y + 6z -10 = 0

Chọn đáp án C

3. Một số bài tập viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Bài 1: Cho điểm A(1;2;3) và điểm B(3;6;1) trong không gian Oxyz, ta biết mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Viết phương trình tổng quát (P).

Giải:
Đoạn thẳng AB có tọa độ (2;4;2) có trung điểm I.
Vectơ AB có tọa độ (2;4;−2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là:
2(x−2)+4(y−4)−2(z−2)=0
=> 2x + 4y − 2z − 16 = 0
=> x + 2y − z − 8 = 0

Xem thêm : Ý Tưởng Vẽ Tranh Theo Ô Vuông Độc Đáo Và Sáng Tạo

Bài 2: Trong không gian Oxyz, điểm A(-1,2,3) và điểm B(1,6,-1). Phương trình mặt phẳng trung trực AB có dạng như thế nào?

Giải:
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ (0;4;1)
Mặt phẳng trung trực đoạn AB vectơ AB có tọa độ (2;4;−4) là một vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng ta cần tìm có phương trình như sau:
2(x−0) + 4(y−4) − 4(z−1) = 0
=> x + 2y − 2z − 6 = 0
=> −x − 2y + 2z + 6 = 0

Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng có chứa trục Oy, điểm Q(1;4;-3)

(Q) có chứa trục Oy và Q (1;4;-3)

• (Q) chứa Oy ⇒ vectơ chỉ phương là (0;1;0)
• (Q) chứa O (0;0;0) và Q (1;4;-3) ⇒ nhận vectơ OQ = (1;4;-3) là 1 vecto chỉ phương
  ⇒ (Q) nhận vectơ pháp tuyến (−3;0;-1)

⇒ (Q): -3(x – 0) – 1.(z – 0) = 0

hay (Q): 3x + z = 0.

Bài 4: Đoạn AB có phương trình mặt phẳng trung trực với điểm A(2;3;7), B(4;1;3) là?

Giải:
Gọi trung điểm đoạn thẳng AB là điểm M.
Vậy ta có tọa độ của M là:
(x_M; y_M; z_M) = ( (x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2, (z_A + z_B) / 2) = ((2 + 4) / 2, (3 + 1) / 2, (7 + 3) / 2) = (3, 2, 5)

Đoạn thẳng AB có (P) là mặt phẳng trung trực nên mặt phẳng (P) đi qua M và nhận (AB) là vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình của mặt phẳng (P):
(x – 3, y – 2, z – 5) • (2-4, 1-3, 3-3) = 0, vector chiếu n = (2-4, 1-3, 3-3) = (-2, -2, 0)

Bài 5: Phương trình tổng quát mp (MNP) với M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1) là?

Giải:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là n = (1;4;−5)
Mặt phẳng (MNP) với M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1) có phương trình tổng quát là:
(x-1) + 4(y-1) − 5(z-1) = 0
⇔ x – 4y + 5z – 2 = 0

Như vậy, các em đã nắm vững cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. Hy vọng các em có thể áp dụng công thức này để giải các bài tập một cách dễ dàng. Chúc các em học tốt!

Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập