Đạo hàm mũ và logarit là một phần quan trọng của chương trình Giải tích THPT. Để giúp bạn hiểu rõ hơn về kiến thức này và nhận biết các dạng bài tập liên quan, chúng tôi đã tổng hợp tất cả vào bài viết này.
Contents
Tổng quan về đạo hàm mũ và logarit
Để bắt đầu, hãy xem xét bảng tổng hợp kiến thức về hàm số mũ và logarit dưới đây:
Bạn đang xem: Đầy đủ lý thuyết và bài tập đạo hàm mũ và logarit
Hình 1: Tổng quan về đạo hàm mũ và logarit
Để hiểu sâu hơn, bạn có thể tải xuống file tổng hợp lý thuyết về hàm số mũ và logarit – đạo hàm mũ và logarit cực chi tiết và đầy đủ được biên soạn bởi đội ngũ giảng viên chuyên môn tại VUIHOC.
READ MORE:
1. Tổng quan lý thuyết chung
Trước khi chúng ta đi vào đạo hàm mũ và logarit, hãy hiểu định nghĩa chung nhất về đạo hàm để có cái nhìn chính xác nhất.
1.1. Lý thuyết về đạo hàm – căn bản về đạo hàm mũ và logarit
Đạo hàm của một hàm số $y=f(x)$ tại một điểm $x_0$ được định nghĩa là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến dần tới 0. Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ được ký hiệu là $y'(x_0)$ hoặc $f'(x_0)$.
Lưu ý:
- Số gia của đối số là …
- Số gia của hàm số là …
- Giá trị đạo hàm tại một điểm $x_0$ thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này.
1.1.2. Một số quy tắc áp dụng chính cho đạo hàm mũ và logarit
Dưới đây là 3 quy tắc đạo hàm được sử dụng phổ biến trong các bài tập đạo hàm mũ và logarit. Hãy chắc chắn bạn nắm vững lý thuyết của ba quy tắc này để không gặp khó khăn khi thực hiện đạo hàm hàm mũ và logarit:
- Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
- Định lý 1: Hàm số có đạo hàm với mọi $x$.
- Định lý 2: Hàm số có đạo hàm với mọi $x$ dương.
- Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:
- Định lý 3: Giả sử $u=u(x)$, $v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định, ta có:
- $(u + v)’ = u’ + v’$
- $(u – v)’ = u’ – v’$
- $(uv)’ = u’v + uv’$
- Hệ quả 1: Nếu $k$ là một hằng số thì $(ku)’=ku’$
Đạo hàm của hàm hợp:
- Định lý 4: Nếu hàm số $u=g(x)$ có đạo hàm tại điểm $x$ là $u’$ và hàm số $y=f(u)$ có đạo hàm tại $u$ là $y’$, thì hàm hợp $y=f(g(x))$ có đạo hàm (theo $x$) là $frac{dy}{dx} = y’ cdot u’x$.
1.2. Lý thuyết về hàm số mũ
Trước khi chúng ta đi sâu vào đạo hàm mũ và logarit, hãy tìm hiểu lý thuyết về hàm số mũ trước tiên.
1.2.1. Định nghĩa
Trong chương trình Giải tích THPT, chúng ta đã được học lý thuyết về hàm số mũ như sau:
Hàm số mũ là hàm số có dạng $y= a^x$ với $a>0$, $aneq 1$.
1.2.2. Tính chất
Xét hàm số mũ $y= a^x$ với $a>0$, $aneq 1$, chúng ta có các tính chất sau:
- Tập xác định:
- Đạo hàm: $y’=a^x ln a$
- Chiều biến thiên:
- Nếu $a>1$: hàm số luôn đồng biến.
- Nếu $0
- Đồ thị:
- Tiệm cận: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang.
- Đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành và luôn cắt trục tung tại điểm $(0;1)$ và luôn đi qua điểm $(1;a)$.
1.3. Lý thuyết về hàm số logarit
Xem thêm : Cấu trúc furthermore/moreover, ôn tập công thức và 4 mẹo phân biệt cho bạn
1.3.1 Định nghĩa và tập xác định
Theo chương trình Đại số THPT, hàm logarit có định nghĩa như sau:
Cho số thực $a>0$, $aneq 1$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.
Hàm số $y=log_ax$ ($a>0$, $aneq 1$) có tập xác định $D=(0;+infty)$.
Do $log_axin mathbb{R}$, nên hàm số $y=log_ax$ có tập giá trị là $T=mathbb{R}$.
Xét trường hợp hàm số $y=log_a[P(x)]$ điều kiện $P(x)>0$. Nếu $a$ chứa biến $x$, thì ta bổ sung điều kiện $a>0$, $aneq 1$.
Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[P(x)]^n$ điều kiện $P(x)>0$ nếu $n$ lẻ; $P(x)neq 0$ nếu $n$ chẵn.
1.3.2. Đồ thị hàm logarit
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $(1;0)$ và $(a;1)$ và nằm phía bên phải trục tung.
Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
Ta rút ra được nhận xét sau: Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y=log_ax$ ($a>0$, $aneq 1$) đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục toạ độ $Oxy$).
2. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit
2.1. Lý thuyết về đạo hàm mũ và logarit
Về tổng quát, công thức chung của đạo hàm hàm mũ và logarit sẽ có dạng như sau:
- Đạo hàm mũ:
Cho $y=a^u$. Đạo hàm của hàm số là $frac{dy}{dx}=a^u ln a cdot frac{du}{dx}$.
Xem thêm : MyLocal.vn
Trường hợp tổng quát hơn, cho $y=a^{u(x)}$. Ta có: $frac{dy}{dx}=a^{u(x)} ln a cdot frac{du}{dx}$.
- Đạo hàm logarit:
Cho $y=log_a u$. Khi đó đạo hàm của hàm số trên là $frac{dy}{dx}=frac{1}{u ln a} cdot frac{du}{dx}$.
Trường hợp tổng quát hơn, cho $y=log_a u(x)$. Đạo hàm là $frac{dy}{dx}=frac{1}{u(x) ln a} cdot frac{du}{dx}$.
2.2. Công thức đạo hàm mũ và logarit
Để giúp bạn ôn tập và giải các bài tập đạo hàm của hàm số mũ và logarit một cách nhanh chóng và thuận tiện nhất, chúng tôi đã tổng hợp và lựa chọn các công thức đạo hàm hàm mũ và logarit sau:
- Hàm số mũ: $y=a^x ln a$
- Hàm số logarit: $frac{1}{u ln a} cdot frac{du}{dx}$
2.3. Các dạng bài tập tính đạo hàm hàm số mũ và logarit
Để hiểu cách áp dụng lý thuyết và công thức trên, hãy xem xét các ví dụ bài tập tính đạo hàm của hàm số mũ và logarit sau đây:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
- $y=2^x$
- $y=ln(x^2+1)$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
- $y=(x^2+1)cdot 2^{2x}$
Là một hàm số có dạng tích của một hàm đa thức với một hàm số mũ. Vì vậy, ngoài việc áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, chúng ta cần sử dụng đạo hàm mũ và logarit của một tích và đạo hàm của hàm số luỹ thừa.
3. Bài tập áp dụng đạo hàm của hàm số mũ và logarit
Để làm quen và làm chủ kiến thức về đạo hàm mũ và logarit, chúng tôi cung cấp bộ bài tập đạo hàm mũ và logarit cực hay kèm giải chi tiết. Bạn có thể tải xuống bộ bài tập từ link dưới đây để ôn luyện:
Tải xuống bộ bài tập đạo hàm mũ và logarit đầy đủ kèm giải chi tiết
Một nguồn tham khảo rất hiệu quả để ôn luyện đạo hàm mũ và logarit là từ các bài giảng của thầy Thành Đức Trung – chuyên gia luyện thi toán với nhiều cách giải hay, nhanh và thú vị. Bạn có thể xem các bài giảng để hiểu rõ hơn về cách làm bài tập đạo hàm mũ và logarit.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về đạo hàm mũ và logarit. Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ giúp bạn vượt qua mọi bài toán đạo hàm hàm số mũ và logarit.
Xem thêm: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập
