Các công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản và một số bài tập

Tổng quan

Khi học giải tích trong chương trình toán 12, việc nắm vững các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác là rất quan trọng. Dưới đây là những công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản nhất mà bạn sẽ áp dụng nhiều trong quá trình làm bài tập.

Hình 1: Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

Các dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản

Dạng 1: Nguyên hàm của $I = sin^m(x)cos^n(x)dx$

• Trường hợp 1: Nếu $m = 2k + 1$, ta có:

$I = int sin^{2k}(x)cos^n(x)sin(x)dx$

Bạn đang xem: Các công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản và một số bài tập

Đặt $t = cos(x)$, ta có:

$I = -int (1 – cos^2(x))^kcos^n(x)d(cos(x))$

• Trường hợp 2: Nếu $n = 2k+1$, đặt $t = sin(x)$.

• Trường hợp 3: Nếu $m$ và $n$ đều chẵn, ta dùng công thức hạ bậc.

Lưu ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa $sin(x)$ và $cos(x)$, ta có công thức:

• $I = int f(sin(x))cos(x)dx = int f(sin(x))d(sin(x))$ → Đặt $t = sin(x)$
• $I = int f(cos(x))sin(x)dx = -int f(cos(x))d(cos(x))$ → Đặt $t = cos(x)$

Dạng 2: Nguyên hàm của $I = int frac{dx}{sin^m(x)cos^n(x)}$

• Trường hợp 1: Nếu $m = 2k + 1$, ta có:

$I = int frac{sin(x)dx}{sin^{2k+2}(x)cos^n(x)} = -int frac{d(cos(x))}{(1 – cos^2(x))^{k+1}}cos^n(x)$

Khi đó, ta đặt: $t = cos(x)$.

• Trường hợp 2: Nếu $n = 2k+1$, đặt $t = sin(x)$.

• Trường hợp 3: Nếu $m$ và $n$ đều chẵn, ta có:

$frac{dx}{sin^m(x)cos^n(x)} = frac{sin^2(x)cos^n(x)}{sin^m(x)cos^n(x)}$

Dạng 3: Nguyên hàm của hàm tan(x) và cot(x)

Các nguyên hàm chứa tan(x) hoặc cot(x) thường dùng các hằng đẳng thức:

• $frac{1}{sin^2(x)} = 1 + cos^2(x)$
• $frac{1}{cos^2(x)} = 1 + tan^2(x)$

Nguyên hàm mà mẫu là đẳng cấp bậc 2 với sin(x) và cot(x) sẽ được chia cả tử và mẫu cho $cos^2(x)$.

Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

• $int cos(ax) cos(bx)dx = frac{1}{2}int [cos(a+b)x + cos(a-b)x]dx$

• $int sin(ax) sin(bx)dx = -frac{1}{2}int [cos(a+b)x – cos(a-b)x]dx$

• $int sin(ax)cos(bx)dx = frac{1}{2}int [sin(a+b)x + sin(a-b)x]dx$

• $int cos(ax)sin(bx)dx = frac{1}{2}int [sin(a+b)x – sin(a – b)x]dx$

Dạng 5: Nguyên hàm $I = int frac{dx}{asin(x) + bcos(x) + c}$

Ta có: $I = int frac{dx}{msin^2(frac{x}{2})+nsin(frac{x}{2})cos(frac{x}{2})+pcos^2(frac{x}{2})} overset{t=tan(frac{x}{2})}{rightarrow} I = int frac{dt}{mt^2+nt+p}$

Một số bài tập nguyên hàm lượng giác và phương pháp giải

Bài tập 1: Nguyên hàm của hàm số $y = 7sin(x)$

A. $7sin(x) + C$

Xem thêm : Bộ đề thi ứng dụng cntt cơ bản lý thuyết và thực hành đầy đủ nhất 2023

B. $7cos(x) + C$

C. $-7cos(x) + C$

D. Tất cả sai.

Giải: Ta có: $int 7sin(x)dx = 7int sin(x)dx = -7cos(x) + C$. Chọn C.

Bài tập 2: Nguyên hàm của hàm số $y = 6sin(x) + 8cos(x)$ là:

A. $-6cos(x) – 8sin(x) + C$

B. $6cos(x) + 8sin(x) + C$

C. $-6cos(x) + 8sin(x) + C$

D. $6cos(x) – 8sin(x) + C$

Giải: Ta có:

$int (6sin(x) + 8cos(x))dx = 6int sin(x)dx + 8int cos(x)dx = -6cos(x) + 8sin(x) + C.$

Chọn C.

Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = 8sin(x) – 8cos(x)$

A. $8cos(x) – 8sin(x)$

B. $-8cos(x) – 8sin(x)$

C. $8cos(x) + 8sin(x)$

D. Tất cả sai.

Giải: Ta có:

$int (8sin(x) – 8cos(x))dx = 8int sin(x)dx – 8int cos(x)dx = -8cos(x) – 8sin(x)$

Chọn B.

Bài tập 4: Tính: $I = int sin(x^2 – x + 1) cdot (2x – 1) dx$

A. $cos(x^2 – x + 1) + C$

B. $-2 cdot cos(x^2 – x + 1) + C$

C. $-frac{1}{2} cdot cos(x^2 – x + 1)$

D. $-cos(x^2 – x + 1)$

Giải:

Ta có: $sin(x^2 – x + 1) cdot (2x – 1)dx = sin(x^2 – x + 1) cdot (x^2 – x + 1)’ dx$

Đặt $u = x^2 – x + 1$, ta được:

$Rightarrow I = int sin(x^2 – x + 1) cdot (2x – 1) dx = int sin(u)du = -cos(u) + C = -cos(x^2 – x + 1) + C$

Chọn D.

Bài tập 5: Tính $int frac{4sin(x) + 3cos(x)}{sin(x) + 2cos(x)} dx$

A. $3ln|cos(x) + 2| – ln|cos(x) + 1| + C$

B. $-3ln|cos(x) + 2| – ln|cos(x) + 1| + C$

C. $4ln|cos(x) + 2| + 2ln|cos(x) + 1| + C$

D. $2ln|cos(x) + 2| – 3ln|cos(x) + 1| + C$

Giải:

Bài tập 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = x + tan^2(x)$

Giải:

Bài tập 7: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = sin(7x) – 7cos(2x) + ln(e)$

Giải:

Bài tập 8: Nguyên hàm của hàm số $y = 2cos(6x) – 3sin(4x)$ có dạng $F(x) = asin(6x) + bcos(4x)$. Tính $3a + 4b$?

A. -4

B. 4

C. 2

D. -2

Giải:

Bài tập 9: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = frac{8cos(x)}{left(sqrt{3}sin(x) + cos(x)right)^{2}}$

Giải:

Bài tập 10: Tính nguyên hàm của $I = int frac{8sin(x) + cos(x) + 5}{(2sin(x) – cos(x) + 1)}$

Giải:

Sau khi nắm vững những công thức và phương pháp trong bài viết này, hy vọng bạn đã có thể áp dụng hiệu quả để giải các bài tập nguyên hàm lượng giác. Để có thêm nhiều kiến thức và các dạng toán hay, hãy truy cập ngay VUIHOC để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

>> Xem thêm:

• Tích phân là gì? Phương pháp tính và các dạng toán cơ bản
• Công thức nguyên hàm Inx và cách giải các dạng bài tập
• Công thức tính nguyên hàm từng phần và bài tập có đáp án
• Công thức lượng giác

Nguồn: https://ispacedanang.edu.vn
Danh mục: Học tập