100 công thức về quy tắc tính đạo hàm (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học và được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán tính toán. Bài viết này sẽ giới thiệu với bạn 100 công thức về quy tắc tính đạo hàm cùng với đáp án và cách giải các dạng toán liên quan.

Có thể bạn quan tâm

Contents

1 A. Lý thuyết về đạo hàm
2 B. Phương pháp giải
3 C. Ví dụ minh họa
4 D. Bài tập tự luyện

A. Lý thuyết về đạo hàm

1) Đạo hàm của một hàm số lượng giác

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

Bạn đang xem: 100 công thức về quy tắc tính đạo hàm (2024 có đáp án) và cách giải các dạng toán

(c)’ = 0 (c là hằng số)
(x)’ = 1

Đạo hàm các hàm hợp u = u(x):

(xα)’ = α.x^(α-1)
(1/x)’ = -1/x^2; x ≠ 0
(uα)’ = α.u’.u^(α-1)
(1/u)’ = -u’/u^2

2) Các quy tắc tính đạo hàm

Xem thêm : Hướng dẫn cách làm hộp đựng bút bằng giấy a4 đơn giản

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

(u + v)’ = u’ + v’
(u – v)’ = u’ – v’
(u.v)’ = u’.v + v’.u
(uv)’ = u’v – v’u/v^2; v ≠ 0

Chú ý:
a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)
b) (1/v)’ = -v’/v^2; v(x) ≠ 0

Mở rộng:

(u1±u2±…±un)’ = u1’±u2’±…±un’
(u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

3) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó: y’x = y’.u’x

B. Phương pháp giải

Để giải các bài toán liên quan đến đạo hàm, ta có thể sử dụng các quy tắc và công thức tính đạo hàm đã được trình bày ở phần lý thuyết.

Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.
Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

C. Ví dụ minh họa

Xem thêm : Tổng hợp bộ bài tập HTML CSS lời giải cho người mới bắt đầu

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm x0 sau:

a) y = 7 + x – x^2, với x0 = 1
b) y = 3x^2 – 4x + 9, với x0 = 1

Lời giải:
a) y = 7 + x – x^2
Ta có: y’ = 1 – 2x
Vậy y'(1) = 1 – 2.(1) = -1.

b) y = 3x^2 – 4x + 9
Ta có: y’ = 6x – 4
Vậy y'(1) = 6.(1) – 4 = 2.

Ví dụ 2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = -x^3 + 3x + 1
b) y = (2x – 3)(x^5 – 2x)
c) y = x^2/x
d) y = 2x + 11 – 3x
e) y = (2x^2 – 4x + 1)/(x – 3)

Lời giải:
a) y’ = (-x^3 + 3x + 1)’
= -3x^2 + 3

b) y = (2x – 3)(x^5 – 2x)
y’ = [(2x – 3)(x^5 – 2x)]’
= (2x – 3)’.(x^5 – 2x) + (x^5 – 2x)’.(2x – 3)
= 2(x^5 – 2x) + (5x^4 – 2)(2x – 3)
= 12x^5 – 15x^4 – 8x + 6

c) y = x^2/x
y’ = x^2/x’
= 2x/x
= 2

d) y = 2x + 11 – 3x
⇒y’ = 2x + 11 – 3x’
= 2x + 11 – 3
= 2x + 8

e) y = (2x^2 – 4x + 1)/(x – 3)
⇒y’ = (2x^2 – 4x + 1)’/(x – 3) – (2x^2 – 4x + 1)/(x – 3)’
= (4x – 4)/(x – 3) – (2x^2 – 4x + 1)/((x – 3)^2)
= (4x – 4)/(x – 3) – (2x^2 – 4x + 1)/(x^2 – 6x + 9)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x^7 + x)^2
b) y = (1 – 2x^2)^3
c) y = (2x + 1)/(x – 1)^3
d) y = (1 + 2x)(2 + 3x^2)(3 – 4x^3)
e) y = 1 + 2x – x^2
f) y = 1 + x/(1 – x)

Lời giải:
a) y = (x^7 + x)^2
Sử dụng công thức uα’ = α.u^(α-1).u’ (với u = x^7 + x)
y’ = 2(x^7 + x).(x^7 + x)’
= 2(x^7 + x)(7x^6 + 1)

b) y = (1 – 2x^2)^3
Sử dụng công thức uα’ (với u = 1 – 2x^2)
y’ = 3(1 – 2x^2)^2.(1 – 2x^2)’
= 3(1 – 2x^2)^2(- 4x)
= – 12x(1 – 2x^2)^2

c) y = (2x + 1)/(x – 1)^3
Bước đầu tiên sử dụng uα’, với u = 2x + 1/(x – 1)^3
y’ = 3(2x + 1)/(x – 1)^3.(2x + 1)’ + (2x + 1)/(x – 1)^3.(x – 1)”
= 3(2x + 1)/(x – 1)^3.2 + (2x + 1)/(x – 1)^3.3/(x – 1)
= – 9(2x + 1)/(x – 1)^4

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x^2)(3 – 4x^3)
y’ = (1 + 2x)'(2 + 3x^2)(3 – 4x^3) + (1 + 2x)(2 + 3x^2)'(3 – 4x^3) + (1 + 2x)(2 + 3x^2)(3 – 4x^3)’
= 2(2 + 3x^2)(3 – 4x^3) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x^3) + (1 + 2x)(2 + 3x^2)(- 12x^2)
= – 144x^5 – 60x^4 – 64x^3 + 42x^2 + 18x + 12

e) y = 1 + 2x – x^2
Sử dụng công thức u’ (với u = 1 + 2x – x^2)
y’ = 1 + 2x – x^2′
= 1 + 2x – 2x
= 1 – x

f) y = 1 + x/(1 – x)
Sử dụng công thức (uv)’ được:
y’ = 1 + x’/(1 – x) – x(1 – x)’/(1 – x)^2
= 1 – x/(1 – x) – (2x – 1)/(1 – x)^2
= 3 – x/(1 – x)^2

D. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = 2x^2 + 1. Giá trị f’(-1) bằng:
A. 2
B. 6
C. -4
D. 3

Câu 2. Cho hàm số f(x) = -2x^2 + 3x xác định trên R. Khi đó f'(x) bằng:
A. -4x – 3
B. -4x + 3
C. 4x + 3
D. 4x – 3

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = (1 – x^3)^5 là:
A. y’ = 5(1 – x^3)^4
B. y’ = -15x^2(1 – x^3)^4
C. y’ = -3(1 – x^3)^4
D. y’ = -5x^2(1 – x^3)^4

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = (x^2 – x + 1)^5 là:
A. 4(x^2 – x + 1)^4(2x – 1)
B. 5(x^2 – x + 1)^4
C. 5(x^2 – x + 1)^4(2x – 1)
D. (x^2 – x + 1)^4(2x – 1)

Câu 5. Đạo hàm của hàm số y = -2x^5 + 4x bằng biểu thức nào dưới đây?
A. -10x^4 + 1/x
B. -10x^4 + 4x
C. -10x^4 + 2x
D. -10x^4 – 1/x

Câu 6. Hàm số y = 2x + 1/(x – 1) có đạo hàm là:
A. y’ = 2
B. y’ = -1/(x – 1)^2
C. y’ = -3/(x – 1)^2
D. y’ = 1/(x – 1)^2

Câu 7. Đạo hàm của hàm số y = x^2 + x + 1 bằng biểu thức có dạng ax + b/x^2 + x + 1. Khi đó a – b bằng:
A. a – b = 2
B. a – b = -1
C. a – b = 1
D. a – b = -2

Câu 8. Cho hàm số y = x^2 + x/(x – 2). Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:
A. y'(1) = -4
B. y'(1) = -5
C. y'(1) = -3
D. y'(1) = -2

Câu 9. Cho hàm số y = x^4 – x^2. Tính y'(0) bằng:
A. y'(0) = 1
B. y'(0) = 1/3
C. y'(0) = 1/2
D. y'(0) = 2

Câu 10. Hàm số y = x^2/(2x + 1) có đạo hàm là:
A. y’ = -x^2 + 2x/(2x + 1)
B. y’ = x^2 – 2x/(2x + 1)
C. y’ = -3x – 1/(2x + 1)^2
D. y’ = x^2 + 2x/(2x + 1)

Câu 11. Cho hàm số f(x) xác định trên D = (0, +∞) cho bởi f(x) = x^x. Đạo hàm của f(x) là:
A. f'(x) = 1/2x
B. f'(x) = 3/2x
C. f'(x) = 1/2xx
D. f'(x) = x + x^2

Câu 12. Hàm số f(x) = x^(-1)/x^2 xác định trên D = (0, +∞). Đạo hàm của f(x) là:
A. f'(x) = x + 1/x – 2
B. f'(x) = x – 1/x^2
C. f'(x) = x – 1/x
D. f'(x) = 1 – 1/x^2

Câu 13. Đạo hàm của hàm số y = (x^2 + x + 3x^2 + x – 1) bằng biểu thức có dạng ax + bx^2 + x – 1/2. Khi đó a + b bằng:
A. a + b = -10
B. a + b = 5
C. a + b = -10
D. a + b = -12

Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1)(5 – 3x^2) bằng biểu thức có dạng ax^3 + bx. Khi đó T = ab bằng:
A. -1
B. -2
C. 3
D. -3

Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = x^2(2x + 1)(5x – 3) bằng biểu thức có dạng ax^3 + bx^2 + cx. Khi đó a + b + c bằng:
A. 31
B. 24
C. 51
D. 34

Bảng đáp án: