Công Thức Tính Tổ Hợp Xác Suất Và Các Dạng Bài Tập

Contents

1 1. Các công thức tính tổ hợp
- 1.1 1.1. Tổ hợp lặp
- 1.2 1.2. Tổ hợp không lặp
2 2. Các công thức tính xác suất
3 3. Một số bài tập về tổ hợp xác suất từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

1. Các công thức tính tổ hợp

1.1. Tổ hợp lặp

Cho một tập hợp A gồm n phần tử và một số tự nhiên K bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Có thể bạn quan tâm

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

Bạn đang xem: Công Thức Tính Tổ Hợp Xác Suất Và Các Dạng Bài Tập

(overline{C_n^k}) = C_{n+k-1}^k + C_{n+k-1}^{m-1}

1.2. Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

C_{n}^{k} = frac{A_{n}^{k}}{k!} = frac{n!}{k!(n-k)!}

Quy ước:

C_{n}^{0} = 1

Tính chất:

C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1
C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}
C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}
C_{n}^{k} = frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}

P(A) = frac{n(A)}{n(Omega)}

Trong đó:

n(A): là phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến Q
n(Omega): là số phần tử của không gian mẫu Omega cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T

Ngoài ra khi giải bài toán xác suất, ta cần vận dụng một số công thức về tính chất của xác suất:

P(Ø) = 0, P(Omega) = 1
0 ≤ P ≤ 1
P(~A) = 1 – P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) ⇔ A và B độc lập

3. Một số bài tập về tổ hợp xác suất từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

Sau khi nắm được lý thuyết tổ hợp xác suất và các công thức thì các bạn hãy tham khảo thêm một số bài tập dưới đây nhé!

Câu 1: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

Giải:
Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kỳ từ 16 quả là C₁₆⁴

Gọi A là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:

Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C₄¹ . C₅³
Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C₄¹ . C₅² . C₇¹
Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C₄¹ . C₅¹ . C₇²

Xem thêm : Phương pháp rèn luyện tư duy cho học sinh tiểu học

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) = frac{C{4}^{1}.C{5}^{3}+C{4}^{1}.C{5}^{2}+C{4}^{1}.C{5}^{1}.C{7}^{2}}{C{16}^{4}} = frac{37}{91}

Câu 2: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.

Giải:
Gọi Omega là không gian mẫu của phép thử.

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X khi đó: |Omega| = A₉⁶ = 60480

Gọi A là biến cố số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ. Khi đó:

Chọn 3 số lẻ đôi một khác từ các số 1, 3, 5, 7, 9 có C₅³ cách.
Chọn 3 chữ số chẵn đôi một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8 có C₄³ cách.

Do đó |Omega_A| = C₅³ . C₄³ . 6! = 28800

Vậy xác suất cần tìm là: P(A) = frac{|Omega_A|}{|Omega|} = frac{28800}{60480} = frac{10}{21}

Câu 3: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm.

Giải:
Gọi số cần tìm của S có dạng overline{abc}

(a ≠ 0, a ≠ b ≠ c, a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6})

Số cách chọn chữ số a có 6 cách (vì a ≠ 0)

Số cách chọn chữ số b có 6 cách (vì a ≠ b)

Số cách chọn chữ số c có 5 cách (vì c ≠ a, c ≠ b)

Xem thêm : Tư duy lập trình là gì? Làm thế nào để rèn luyện tư duy lập trình nhanh nhất và tốt nhất?

Vậy S có 6 . 6 . 5 = 180 số

Số phần tử của không gian mẫu là 180

Gọi A là biến cố số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm. Khi đó ta có 3 bộ số thỏa mãn biến cố A là: overline{1b2}, overline{2b4}, overline{3b6} và trong mỗi bộ thì b có 5 cách chọn nên có 3 . 5 = 15 (số). Các kết quả có lợi cho biến cố A là |Omega_A| = 15

Vậy P(A) = frac{|Omega_A|}{|Omega|} = frac{15}{180} = frac{1}{12}

Câu 4: Cho tập A có 20 phần tử. Có bao nhiêu tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn?

Giải:
Số tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn được tính như sau:
C₂₀² + C₂₀⁴ + C₂₀⁶ +…+ C₂₀²⁰

Bên cạnh đó, ta lại có:
(1 + 1)²⁰ = C₂₀⁰ + C₂₀¹ + C₂₀² +…+ C₂₀²⁰
(1 – 1)²⁰ = C₂₀⁰ – C₂₀¹ + C₂₀² -…+ C₂₀²⁰

Cộng 2 vế ta có:
2²⁰ = 2(C₂₀⁰ + C₂₀² + C₂₀⁴+…+C₂₀²⁰)

Do đó: C₂₀² + C₂₀⁴+…+C₂₀²⁰ = 2¹⁹ – 1

Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxy có 8 điểm nằm trên tia Ox và 5 điểm nằm trên tia Oy. Nối một điểm trên tia Ox và một điểm trên tia Oy ta được 40 đoạn thẳng. Hỏi 40 đoạn thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu giao điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ xOy (Biết rằng không có bất kì 3 đoạn thẳng nào đồng quy tại 1 điểm).

Giải:
Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 13 điểm đã cho là C₈² . C₅² = 280

Mỗi tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy

Vậy số giao điểm là 280.

Trên đây là tổng hợp công thức tính tổ hợp xác suất cũng như các dạng bài tập thường gặp trong chương trình Toán 11. Để đạt kết quả tốt nhất, các bạn có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề mỗi ngày! Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.