STP Hình Trụ: Công Thức và Ứng Dụng

Hình trụ là một hình học phổ biến với nhiều ứng dụng trong đời sống và công nghiệp. Dưới đây là tổng hợp công thức và ví dụ minh họa cách tính diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.

Công Thức Tính Diện Tích Toàn Phần Hình Trụ

Diện tích toàn phần của hình trụ bao gồm diện tích xung quanh và diện tích của hai mặt đáy.

1. Diện tích xung quanh: $$ S_{xq} = 2\pi rh $$
2. Diện tích hai mặt đáy: $$ S_{đáy} = 2\pi r^2 $$
3. Diện tích toàn phần: $$ S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 2\pi r(h + r) $$

Ví Dụ Minh Họa

Dưới đây là một số ví dụ minh họa cách áp dụng công thức để tính diện tích toàn phần của hình trụ.

• Ví dụ 1: Một hình trụ có bán kính đáy \( r = 3 \) cm và chiều cao \( h = 5 \) cm. Diện tích toàn phần của hình trụ là: $$ S_{tp} = 2\pi \cdot 3(3 + 5) = 48\pi \text{ cm}^2 $$
• Ví dụ 2: Tính diện tích toàn phần của hình trụ khi biết chu vi đáy là 30 cm và diện tích xung quanh là 200 cm². Ta có: $$ C = 2\pi r \Rightarrow r = \frac{30}{2\pi} $$ $$ S_{xq} = 2\pi rh \Rightarrow h = \frac{200}{2\pi r} $$ Sau khi tính toán, áp dụng công thức diện tích toàn phần.

Công Thức Tính Thể Tích Hình Trụ

Thể tích hình trụ được tính bằng công thức sau:

$$ V = \pi r^2 h $$

Ví Dụ Minh Họa Thể Tích Hình Trụ

• Ví dụ 1: Cho một hình trụ có bán kính đáy \( r = 4 \) cm và chiều cao \( h = 8 \) cm. Thể tích của hình trụ là: $$ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 8 = 128\pi \text{ cm}^3 $$
• Ví dụ 2: Một hình trụ có chu vi đáy bằng 20 cm và diện tích xung quanh là 14 cm². Tính chiều cao và thể tích của hình trụ: $$ C = 2\pi r \Rightarrow r = \frac{20}{2\pi} $$ $$ S_{xq} = 2\pi rh \Rightarrow h = \frac{14}{2\pi r} $$ Sau khi tính toán, áp dụng công thức thể tích.

Ứng Dụng Thực Tiễn

Diện tích toàn phần và thể tích hình trụ có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như:

• Kiến trúc và xây dựng: Ước lượng vật liệu cần thiết.
• Thiết kế và sản xuất: Xác định lượng nguyên liệu để tiết kiệm chi phí.
• Hàng hải và hàng không: Tối ưu hóa hiệu suất di chuyển của tàu thủy và máy bay.
• Trang trí nội thất: Quyết định lượng sơn hoặc vật liệu phủ cần dùng.

Hình trụ là một hình không gian ba chiều có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau và song song với nhau, và một mặt xung quanh là một hình chữ nhật khi được cuộn lại. Đường tròn đáy của hình trụ có bán kính r và chiều cao h là khoảng cách giữa hai đáy.

Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ

Để tính diện tích và thể tích của hình trụ, chúng ta sử dụng các công thức sau:

• Diện tích xung quanh (S_xq): \( S_{xq} = 2 \pi r h \)
• Diện tích toàn phần (S_tp): \( S_{tp} = 2 \pi r (r + h) \)
• Thể tích (V): \( V = \pi r^2 h \)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy r = 3 cm và chiều cao h = 5 cm.

Ví dụ 2: Tính thể tích của hình trụ có bán kính đáy r = 4 cm và chiều cao h = 8 cm.

\[ V = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 8 = 128 \pi \approx 402 \text{ cm}^3 \]

Ví dụ 3: Một hộp sữa hình trụ có chiều cao hơn đường kính là 3 cm. Biết diện tích vỏ hộp (kể cả nắp) là 292,5π cm². Tính thể tích của hộp sữa đó.

• Gọi R là bán kính đáy của hộp sữa, h là chiều cao của nó. Ta có h = 2R + 3.
• Diện tích toàn phần của hộp sữa là 292,5π cm² nên \( 2 \pi R (R + h) = 292,5 \pi \)
• Giải phương trình ta có \( R = 6,5 \text{ cm} \) và \( h = 2 \times 6,5 + 3 = 16 \text{ cm} \)
• Thể tích hộp sữa: \( V = \pi R^2 h = \pi \times 6,5^2 \times 16 \approx 2133,6 \text{ cm}^3 \)