7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Lớp 8 - Bí Quyết Làm Chủ Toán Học

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những công thức cơ bản và quan trọng trong chương trình toán học lớp 8. Chúng giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Dưới đây là chi tiết về các hằng đẳng thức này.

1. Bình phương của một tổng

Công thức:

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

2. Bình phương của một hiệu

Công thức:

\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]

3. Hiệu hai bình phương

Công thức:

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]

4. Lập phương của một tổng

Công thức:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

5. Lập phương của một hiệu

Công thức:

\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]

6. Tổng hai lập phương

Công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

7. Hiệu hai lập phương

Công thức:

\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Bên cạnh đó, các hằng đẳng thức này còn có nhiều ứng dụng trong việc giải phương trình và bất phương trình, giúp học sinh hiểu sâu hơn về các khái niệm toán học.

Ví dụ minh họa

1. Sử dụng công thức bình phương của một tổng:

\[
(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9
\]

2. Sử dụng công thức hiệu hai bình phương:

\[
4^2 - 3^2 = (4 - 3)(4 + 3) = 1 \cdot 7 = 7
\]

Những hằng đẳng thức đáng nhớ này là nền tảng vững chắc cho việc học toán, giúp học sinh giải các bài toán nhanh chóng và chính xác.

Trong chương trình Toán lớp 8, chúng ta sẽ gặp bảy hằng đẳng thức quan trọng và cơ bản. Những hằng đẳng thức này giúp giải quyết các bài toán một cách dễ dàng và chính xác hơn. Dưới đây là chi tiết về các hằng đẳng thức đáng nhớ:

1. Bình phương của một tổng:

   \[
   (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
   \]

   Ví dụ: \((x + 3)^2 = x^2 + 2x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)

2. Bình phương của một hiệu:

   \[
   (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
   \]

   Ví dụ: \((x - 4)^2 = x^2 - 2x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16\)

3. Hiệu hai bình phương:

   \[
   a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
   \]

   Ví dụ: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)

4. Lập phương của một tổng:

   \[
   (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
   \]

   Ví dụ: \((x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

5. Lập phương của một hiệu:

   \[
   (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
   \]

   Ví dụ: \((x - 3)^3 = x^3 - 3x^2 \cdot 3 + 3x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\)

6. Tổng hai lập phương:

   \[
   a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
   \]

   Ví dụ: \(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)

7. Hiệu hai lập phương:

   \[
   a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
   \]

   Ví dụ: \(x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)\)

Những hằng đẳng thức trên không chỉ giúp chúng ta giải toán nhanh chóng mà còn mở ra nhiều phương pháp và chiến lược giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Hãy học thuộc và thực hành nhiều để vận dụng thuần thục các hằng đẳng thức này.

Hằng đẳng thức không chỉ là các công thức lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong việc giải toán. Dưới đây là một số ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ.

• 1. Tính giá trị của biểu thức:

  Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 4 \) tại \( x = -1 \)

  Lời giải:

  • Ta có: \( A = x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2 \)
  • Tại \( x = -1 \): \( A = ((-1) - 2)^2 = (-3)^2 = 9 \)

  Kết luận: Vậy tại \( x = -1 \) thì \( A = 9 \)

• 2. Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc biến:

  Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức \( A = (x + 1)^2 - x^2 \) không phụ thuộc vào biến \( x \).

  Lời giải:

  • Ta có: \( A = (x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1 \)
  • Biểu thức \( 2x + 1 \) không phụ thuộc vào biến \( x \).

• 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:

  Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = (x - 3)^2 \)

  Lời giải:

  • Biểu thức \( A = (x - 3)^2 \) luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 3 \).
  • Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 0 tại \( x = 3 \).

• 4. Chứng minh đẳng thức:

  Ví dụ: Chứng minh rằng \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

  Lời giải:

  • Ta có: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
  • Do đó, đẳng thức \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) được chứng minh.

• 5. Chứng minh bất đẳng thức:

  Ví dụ: Chứng minh rằng \( (a - b)^2 \geq 0 \).

  Lời giải:

  • Ta có: \( (a - b)^2 \geq 0 \) vì bình phương của mọi số thực luôn không âm.
  • Do đó, bất đẳng thức \( (a - b)^2 \geq 0 \) được chứng minh.

• 6. Phân tích đa thức thành nhân tử:

  Ví dụ: Phân tích đa thức \( x^2 - 4 \) thành nhân tử.

  Lời giải:

  • Ta có: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

  Vậy đa thức \( x^2 - 4 \) đã được phân tích thành nhân tử.

Dưới đây là một số bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giúp các em học sinh lớp 8 luyện tập và nắm vững kiến thức:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

• Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \( x^2 - 4x + 4 \)
  1. Áp dụng hằng đẳng thức số 2: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
  2. Với \( a = x \) và \( b = 2 \), ta có: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \]
• Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)
  1. Áp dụng hằng đẳng thức số 3: \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)
  2. Với \( a = x \) và \( b = 1 \), ta có: \[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3 \]
• Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau: \( x^2 - y^2 \) tại \( x = 87 \) và \( y = 13 \)
  1. Áp dụng hằng đẳng thức số 1: \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
  2. Với \( x = 87 \) và \( y = 13 \), ta có: \[ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (87 + 13)(87 - 13) = 100 \times 74 = 7400 \]
• Bài 4: Chứng minh rằng: \( (a + b)(a^2 - ab + b^2) + (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 2a^3 \)
  1. Ta có: \[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) + (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + b^3 + a^3 - b^3 = 2a^3 \]
• Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \( x^2 - 2xy - x + 2y \)
  1. Nhóm các hạng tử để dễ dàng áp dụng hằng đẳng thức: \[ x^2 - 2xy - x + 2y = (x^2 - x) - (2xy - 2y) = x(x - 1) - 2y(x - 1) = (x - 1)(x - 2y) \]

Trên đây là một số bài tập vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8. Hy vọng rằng các bài tập này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách áp dụng các hằng đẳng thức trong giải toán.

Qua các bài học về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, chúng ta đã nắm vững các công thức cơ bản và cách áp dụng chúng vào việc giải các bài toán đa dạng. Các hằng đẳng thức này không chỉ giúp rút ngắn quá trình tính toán mà còn mở ra nhiều hướng giải quyết khác nhau cho các vấn đề phức tạp. Dưới đây là tổng kết các hằng đẳng thức và tầm quan trọng của chúng trong toán học.

• Bình phương của một tổng:

  \[(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\]

• Bình phương của một hiệu:

  \[(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\]

• Hiệu hai bình phương:

  \[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\]

• Lập phương của một tổng:

  \[(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\]

• Lập phương của một hiệu:

  \[(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3\]

• Tổng hai lập phương:

  \[A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)\]

• Hiệu hai lập phương:

  \[A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)\]

Những hằng đẳng thức đáng nhớ này là công cụ mạnh mẽ trong việc giải các bài toán từ cơ bản đến phức tạp. Chúng không chỉ giúp chúng ta kiểm tra kết quả nhanh chóng mà còn phát triển tư duy toán học một cách hệ thống và logic.

Qua các bài tập vận dụng, chúng ta đã thấy rõ sự hữu ích của các hằng đẳng thức này trong nhiều tình huống khác nhau. Việc hiểu và áp dụng đúng các công thức sẽ giúp học sinh có nền tảng vững chắc trong môn Toán, từ đó đạt được kết quả học tập cao hơn.

Hãy tiếp tục luyện tập và sử dụng các hằng đẳng thức này để nâng cao kỹ năng giải toán của mình. Chúc các bạn học tốt và thành công!